Petite Bibliothèque de Curiosités

Castalie, notre petite bibliothèque de curiosités a vécu un peu plus de 4 ans, de 2004 à 2008, cumulant un million et demi de visiteurs uniques pour presque six millions de pages vues. Peut-être reviendra-t-elle un jour, peut-être sous une autre forme. En attendant, nous avons gardé quelques articles en vue de constituer des archives choisies.

Atque in perpetuum, frater, ave atque vale

Science et beauté II : Les mathématiques

par Béatrice 31 Janvier 2005, 00:00 Sapientia

The greatest unsolved theorem in mathematics is why some people are better at it than others.

Mathesis, Adrian In H. Eves Return to Mathematical Circles, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1988

On considère souvent les mathématiques comme arides, difficiles, associées au souvenir pénible de l'enfance passée à anoner les terribles tables de multiplication. On peut parfois peiner à voir l'application et l'utilité de certains théorèmes, problèmes ou fonctions et encore moins la beauté associée !

As for everything else, so for a mathematical theory: beauty can be perceived but not explained.

Cayley, Arthur In J. R. Newman (ed.) The World of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1956.

Cayley affirme que la beauté ne peut être expliquée, certes mais on peut tout de même essayer. Cette beauté peut prendre deux sens.

Il y a le plaisir, le jeu de l'esprit. Cette beauté-là pouvant paraître peu évidente ou accessible, en pourtant elle existe. Un exemple simple, le triangle de Pascal (Traité du triangle arithmétique, 1653). La ligne n=0 au sommet ne comprend que le nombre 1. La ligne n=1 consiste en deux nombres 1 et 1. Chaque autre nombre est la somme des deux nombres les plus proches sur la ligne supérieure.

						1
					1		1
				1		2		1
			1		3		3		1
		1		4		6		4		1
	1		5		10		10		5		1
1		6		15		20		15		6		1
...

Sa beauté réside dans son extrême simplicité et, malgré cela, il a de nombreuses applications. Il permet de calculer les coefficient d'un développement binomial, et permet de résoudre des problèmes de probabilité.

Et puis il y a le plaisir esthétique à l'image de celui que l'on ressent à la vue d'un tableau ou d'une uvre d'art en général. On connaît les fractales, rendues célèbres et presque banales avec l'ensemble de Mendelbrot grâce aux images obtenues par ordinateur dès les années 80. Elles sont si belles qu'on en oublierait presque la complexité mathématique qu'elles cachent. Pourtant il en existe tant d'autres surprenantes ! Maintenant beaucoup de logiciels (freeware) permettent de les créer soi-même, sans avoir à connaître le B-A BA des subtilités mathématiques qu'elles mettent en jeu. On peut en découvrir quelques-unes au détour de la toile.

A l'inverse, les automates cellulaires sont peut-être moins connus. Ils permettent de construire des figures spectaculaires à partir de lois géométriques très simples. Ils produisent des comportements d'une grande complexité, et ont de nombreux traits en commun avec des phénomènes physiques, chimiques et biologiques.

Maintenant l'infographie permet de partager avec le plus grand nombre ce sens du beau en mathématiques, simplement en illustrant nombre de théorèmes connus. Une interaction entre les mathématiciens et les artistes a vu le jour pour rendre compte d'objets de plus en plus complexes en 3 dimensions, la visualisation aidant également les scientifiques a mieux comprendre ce qu'ils étudient et d'orienter leur recherche dans une certaine mesure une recherche de l'esthétisme en somme.

If you ask mathematicians what they do, yo always get the same answer. They think. They think about difficult and unusual problems. They do not think about ordinary problems: they just write down the answers.

Egrafov, M. Mathematics Magazine, v. 65 no. 5, December 1992.

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commentaires

Fabrice 01/02/2005 13:28

C'est ça Béa. Pour representer une courbe de Mandelbrot on calcule la convergence d'une série avec comme terme initial les coordonnées d'un point. Si la série diverge, le point est noir, sinon, c'est bon, on code en blanc.Et effectivement, l'auto-similarité est une des caractéristiques fondamentales des ensembles fractales, conjointement avec la non dérivabilité en tout point de la courbe.

Il me semble que les fractales mettent en jeu la notion de nombres complexes. Chaque point est calculé par une fonction donnée. Il me semble aussi qu'on devrait retrouver le meme motif à toutes les échelles. Mais pour s'en rendre compte, il faudrait pouvoir zoomer ou au contraire 'reculer' pour voir si on retrouve toujours le meme motif. Or les oeuvres mises en lien, sont des oeuvres commerciales faites par des artistes avec des logiciels auxquels on n'a pas accès. Elles sont très belles mais je ne crois pas qu'ils donnent la possibilite de 'naviguer' ainsi librement au sein de leur 'tableau'.
Le ruban de moebius est particulièrement bluffant et peut etre réalisé très simplement avec du vrai ruban alors que, comme le dit fabrice, les tableaux d'Escher sont de très belles illusions d'optiques, et en fin de compte des abérrations physiques.

Fabrice 01/02/2005 10:18

Le ruban de Moebius, comme la bouteille de Klein ne sont pas des illusions d'optiques, mais existent réellement (enfin presque pour la bouteille de Klein). Tout ça est expliqué sur le site dont vous donnez le lien. Les tableau d'Escher par contre sont bien des abérations & les objets représentés ne serait avoir d'existence réel.

Jean Yves ALT 01/02/2005 07:28

Intéressant, personnellement ma culture s'était arrêtée aux fractales (structures se retrouvant dans un "objet" à toutes les échelles où l'on puisse l'observer).
Pourtant, j'avoue ne pas toujours retrouver ce concept de "fractales" dans les oeuvres plastiques élaborées sur ordinateur (cf lien indiqué [On peut en découvrir quelques-unes au détour de la toile.] dans l'article montrant pourtant de splendides oeuvres). Mais ma connaissance de cette partie (?) des mathématiques m'est trop peu familière...
Très intéressant aussi le lien [illustrant nombre de théorèmes connus] parlant des paradoxes de perspective (ruban de Moebius par exemple) ce qui m'a rappelé aussi les tableaux de M.C. ESCHER qui travaille aussi sur des perspectives aberrantes ou des pavages qui se déforment pour enrichir notre imaginaire...